Kurven. Toppen af kurven. Den knækkede og den flade kurve. Omtrent hver eneste borger i landet blev under COVID-19-krisen fortrolig med »kurven« og med matematiske modeller, som de færreste indtil nu har haft noget begreb om.
Det hele begyndte den 11. marts, da sundhedsminister Magnus Heunicke præsenterede en papplanche med to variationer af »kurven« på pressemødet i Statsministeriet. Han forklarede matematikken, idet han lod en pegefinger følge linjerne i de to kurver, som ligner et par skovsnegle: Den røde, som har trukket sig sammen i en stejl bue, og den grønne, som i en flad bue skubber sig fremad: smittespredningen henholdsvis uden og med »foranstaltninger«. Den grønne holder sig lige akkurat under den stiplede vandrette linje, som markerer »sundhedsvæsenets normale kapacitet«.
Farvekoderne var ikke til at tage fejl af. Graferne var uhyre simple. Og helt uden tal. Det var klar kommunikation, og i det øjeblik trådte de matematiske modeller for alvor ind i rampelyset og blev en del af den fælles bevidsthed og til et almindeligt samtaleemne.
Og siden har vi dag efter dag indtaget nye matematiske modeller med samme naturlighed, som pandaerne i zoo, når de kværner dagens bambuskvote. Grafer og tal fra myndighederne har repræsenteret et holdepunkt i en skræmmende og kaotisk tid.
I forvejen har matematiske modeller – uden særlig opmærksomhed – stor indflydelse på mange andre områder af samfundet fra flytrafik over vandforsyning til klimaprognoser og vejrudsigter. Og inden for sygehusvæsenet tjener matematiske modeller bl.a. som optimeringsværktøjer til at beregne kapacitet på sygehusene.
Men hvad er det egentlig, de matematiske modeller kan? Og hvad kan de ikke? Det dykker vi ned i her sammen med to matematikere, lektor Uffe Høgsbro Thygesen, DTU, som under COVID-19 har været i »orkanens øje«, og professor Johnny Ottesen, RUC, som i samarbejde med læger udvikler nye behandlingsformer ved hjælp af matematiske modeller.
LÆS OGSÅ:
Alternativet til modeller er mavefornemmelser
Gryende forskningsfelt: Matematikere og læger er et godt match
Fire hyppige misforståelser om matematiske modeller
1. Modellerne afspejler virkeligheden
Nej.
Modellering er et værktøj til at systematisere et fænomen, så det er mere håndterligt. Modellen kan bidrage til forståelse og beskrivelse af et system, og modellen er altid en forsimplet matematisk version af et udsnit af virkeligheden. For eksempel tog de første matematiske modeller af smittespredningen af COVID-19 afsæt i, at alle mennesker er ens. Matematikerne prøver at ramme et punkt, hvor forsimplingen ikke er for grov, og detaljeringsgraden ikke for stor.
2. Modeller kan være rigtige eller forkerte
Nej.
Når andre siger: »Modellen passede ikke«, så undrer matematikerne sig. For modeller »passer« i princippet aldrig nøjagtigt. Og det er heller ikke meningen med dem. Modellører arbejder med sandsynligheder, så der er altid en usikkerhedsmargin. Men modellerne kan pege på faktorer – sammenhænge, som kan påvirkes. I en COVID-19-model kan modellen for eksempel vise effekten af at lukke dele af samfundet ned, men den bygger på antagelser og kan derfor ikke afspejle, hvad der rent faktisk vil ske.
3. Modellen er færdig, når den præsenteres
Nej.
Matematikere ser modelleringsprocessen som en cirkel, så modellen er i princippet aldrig færdig. Straks når en model er præsenteret, sammenholder matematikerne den med virkeligheden. Og med ny viden om, hvad der er sket, korrigerer og udvikler de modellen. Og nogle gange tilføjer de flere faktorer, som har vist sig vigtige. For eksempel har alder vist sig at være en vigtig faktor, som derfor bør regnes ind som et selvstændigt parameter i COVID-19-modellerne.
4. Alle usikkerheder er dækket ind
Nej.
For de fleste ikkematematikere er det svært at vurdere, hvor anvendelig en model er. Den usikkerhedsmargin, vi ser i en grafisk fremstilling af en model, dækker kun usikkerheden inden for modellens rammer. Men valget af model spiller også en rolle for dens anvendelighed, fordi forskellige typer af modeller passer til forskellige formål. Dertil kommer, at der som inden for alle andre felter findes både dygtige og mindre dygtige modellører. Så kvaliteten af en model kan svinge. Endelig er mængden og kvaliteten af data og antagelser afgørende. Man siger, at modellens output aldrig er bedre end dens input.
Fire hyppige misforståelser om matematiske modeller
1. Modellerne afspejler virkeligheden
Nej.
Modellering er et værktøj til at systematisere et fænomen, så det er mere håndterligt. Modellen kan bidrage til forståelse og beskrivelse af et system, og modellen er altid en forsimplet matematisk version af et udsnit af virkeligheden. For eksempel tog de første matematiske modeller af smittespredningen af COVID-19 afsæt i, at alle mennesker er ens. Matematikerne prøver at ramme et punkt, hvor forsimplingen ikke er for grov, og detaljeringsgraden ikke for stor.
2. Modeller kan være rigtige eller forkerte
Nej.
Når andre siger: »Modellen passede ikke«, så undrer matematikerne sig. For modeller »passer« i princippet aldrig nøjagtigt. Og det er heller ikke meningen med dem. Modellører arbejder med sandsynligheder, så der er altid en usikkerhedsmargin. Men modellerne kan pege på faktorer – sammenhænge, som kan påvirkes. I en COVID-19-model kan modellen for eksempel vise effekten af at lukke dele af samfundet ned, men den bygger på antagelser og kan derfor ikke afspejle, hvad der rent faktisk vil ske.
3. Modellen er færdig, når den præsenteres
Nej.
Matematikere ser modelleringsprocessen som en cirkel, så modellen er i princippet aldrig færdig. Straks når en model er præsenteret, sammenholder matematikerne den med virkeligheden. Og med ny viden om, hvad der er sket, korrigerer og udvikler de modellen. Og nogle gange tilføjer de flere faktorer, som har vist sig vigtige. For eksempel har alder vist sig at være en vigtig faktor, som derfor bør regnes ind som et selvstændigt parameter i COVID-19-modellerne.
4. Alle usikkerheder er dækket ind
Nej.
For de fleste ikkematematikere er det svært at vurdere, hvor anvendelig en model er. Den usikkerhedsmargin, vi ser i en grafisk fremstilling af en model, dækker kun usikkerheden inden for modellens rammer. Men valget af model spiller også en rolle for dens anvendelighed, fordi forskellige typer af modeller passer til forskellige formål. Dertil kommer, at der som inden for alle andre felter findes både dygtige og mindre dygtige modellører. Så kvaliteten af en model kan svinge. Endelig er mængden og kvaliteten af data og antagelser afgørende. Man siger, at modellens output aldrig er bedre end dens input.
Under COVID-19 kom matematiske modeller pludselig på alles læber. I en verden af usikkerhed var modellerne et holdepunkt – og med til at redde liv. Men alliancen mellem matematikere og læger rækker langt ud over epidemien. Modellerne kan også gøre en forskel i behandlingen af patienter.